La fonction du second degré, aussi appelée fonction quadratique ou encore fonction polynomiale de degré deux est une fonction mathématique de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles indépendantes de $x$ et où $a \neq 0$.
La représentation graphique de cette fonction est une parabole qui possède un sommet, un axe de symétrie et un sens de variation défini par le signe de la variable $a$.
La fonction du second degré peut se rendre utile dans quelques situations de la vie quotidienne, par exemple, pour étudier le mouvement d'un projectile en l'absence de frottement de l'air. En utilisant cette fonction pour modélisée une telle situation, il serait possible de déterminier la hauteur maximale atteinte par le projectile, la distance parcourue, le temps de vol, etc. Il serait aussi possible de prévoir avec une grande précision la position du projectile à tout moment de son vol, ce qui peut être crucial dans certains contextes.
Une fonction du second degré peut s'écrire de 3 manières différentes.
| Forme | Formule |
|---|---|
| Canonique : | $f(x) = a(b(x-h))^2+k$ |
| Générale : | $f(x) = ax^2+bx+c$ |
| Factorisée : | $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ |
La résolution d'une fonction du second degré consiste à déterminer les solutions de l'équation $f(x) = 0$. Les méthodes de résolution varient en fonction de la forme de la fonction.
Pour résoudre une fonction du second degré sous forme canonique, il suffit de poser $f(x) = 0$ puis de résoudre l'équation.
Soit la fonction $f(x) = 2(x-4)^2-8$ :
Pour résoudre une fonction du second degré sous forme générale, la méthode la plus courante est celle de la complétion du carré. Cependant puisqu'elle n'est utile que dans certains cas, la plupart du temps dans des problèmes théoriques, l'exemple ci-dessous démontrera une résolution par la formule quadratique, qui elle, est utilisable en tout temps.
$x_1,x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, où $\Delta = b^2-4ac$
Soit la fonction $f(x) = 2x^2-8x+6$ :
Pour résoudre une fonction du second degré sous forme factorisée, il suffit de poser $f(x) = 0$ puis d'extraire les valeurs de $x$ des facteurs de l'équation.
Soit la fonction $f(x) = 4(x-2)(x+3)$ :